Иван Иванович Свиязев родился в 1797 году в селе Верхние Муллы (ныне — в черте Перми) в семье крепостных крестьян княгини Варвары Александровны Шаховской (урожденной Строгановой).
Благодаря покровительству княгини Свиязев был принят в Пермскую гимназию, окончил ее в 1815 году и при поддержке Шаховской поступил в Императорскую Академию художеств в Петербурге. На экзамене 1817 года Иван Иванович удостоился серебряной медали второй степени за композицию «Почтовый двор». Однако год спустя Свиязев был отчислен из-за ужесточения правил обучения: количество студентов-крепостных было ограничено, а освободить его владелица отказалась. Несколько лет Свиязев строил для Шаховской в Москве и Петербурге. В 1819 году работал на строительстве Петергофской бумажной фабрики. В 1820 году Академия художеств договорилась с Шаховской о вольной, за которую Свиязев выплачивал бывшей хозяйке деньги. В 1821 году Совет академии присвоил ему звание художника-архитектора 14-го класса.
В марте 1822 года Иван Иванович был назначен архитектором Уральского (Пермского) горного правления, где проработал до 1832 года. В этот период город бурно развивался, и заказчиком архитектора выступали не только заводы, но и городская дума, губернаторы и купцы.
В Перми Свиязев построил здания казённой палаты, Благородного собрания и духовной семинарии, комплекс зданий Мотовилихинского медеплавильного завода, Казанскую и Сибирскую заставы, ротонду в Загородном саду, дом подрядчика Н. К. Крылова и будущий дом Н. В. Мешкова, церкви Всех Святых и Живоначальной Троицы.
Свиязев работал в стилистике классицизма, предпочитал использовать четкие линии и не злоупотреблять излишним декором.
В 1832 году архитектор переехал в Петербург, где до 1839 года преподавал горнозаводскую архитектуру в Горном институте и Технологическом университете. В 1839 году он участвовал в возведении храма Христа Спасителя в Москве в качестве старшего архитектора, в 1839–1846 годах был редактором трудов Вольного экономического общества. В 1846 году Свиязев вернулся в Петербург, поступив на службу в Министерство государственных имуществ, которую совмещал с преподаванием в Горном институте. Выйдя в отставку в 1874 году, получил чин тайного советника.
Скончался Иван Иванович 27 октября 1874 года в Санкт-Петербурге. В Перми его именем названа улица.